Estimating Differential Quantities using Polynomial fitting of Osculating Jets

This paper addresses the pointwise estimation of differential properties of a smooth manifold S —a curve in the plane or a surface in 3D— assuming a point cloud sampled over S is provided. The method consists of fitting the local representation of the manifold using a jet, and either interpolation or approximation. A jet is a truncated Taylor expansion, and the incentive for using jets is that they encode all local geometric quantities —such as normal, curvatures, extrema of curvature. On the way to using jets, the question of estimating differential properties is recasted into the more general framework of multivariate interpolation/approximation, a well-studied problem in numerical analysis. On a theoretical perspective, we prove several convergence results when the samples get denser. For curves and surfaces, these results involve asymptotic estimates with convergence rates depending upon the degree of the jet used. For the particular case of curves, an error bound is also derived. To the best of our knowledge, these results are among the first ones providing accurate estimates for differential quantities of order three and more. On the algorithmic side, we solve the interpolation/approximation problem using Vandermonde systems. Experimental results for surfaces of 3 are reported. These experiments illustrate the asymptotic convergence results, but also the robustness of the methods on general Computer Graphics models. Key-words: Meshes, Point Clouds, Differential Geometry, Interpolation, Approximation. Estimation des Quantités Différentielles par Ajustement Polynomial des Jets Osculateurs Résumé : Ce rapport concerne l’estimation locale des propriétés différentielles d’une variété lisse S –une courbe dans le plan ou une surface en 3D– à partir d’un nuage de points échantillonnés sur S. La méthde consiste à ajuster la représentation locale de la variété par un jet, en interpolant ou approximant. Un jet est un développement de Taylor tronqué, et l’intérêt des jets est qu’ils codent toutes les quantités géométriques locales –telles que la normale, les courbures, les extrema de courbure. Avec l’utilisation des jets, le problème d’estimation des quantités différentielles est placé dans le cadre plus général de l’interpolation/approximation multivariée, un sujet classique d’analyse numérique. Sur le plan théorique, nous donnons des résultats de convergence lorsque l’échantillonnage est raffiné. Pour les courbes et surfaces, ces résutats sont des estimations asymptotiques avec des vitesses de convergence fonction du degré du jet utilisé. Pour le cas des courbes, une majoration d’erreur est aussi fournie. A notre connaissance, ces résutats sont parmi les premiers fournissant des estimations précises pour les quantités différentielles d’ordre trois et plus. Sur le plan algorithmique, nous traitons le problème d’interpolation/approximation avec des systèmes de Vandermonde. Des résultats expérimentaux pour les surfaces de R3 sont analysés. Ces expérimentations illustrent les résultats de convergence asymptotique, ainsi que la robustesse de la méthode sur des modèles de Computer Graphics. Mots-clés : Maillages, Nuages de Points, Géométrie différentielle, Interpolation, Approximation. Estimating Differential Quantities using Polynomial fitting of Osculating Jets 3